Moyenne Mobile Des Séries Chronologiques

Moyennes mobiles Si cette information est tracée sur un graphique, cela ressemble à ceci: Cela montre qu'il ya une grande variation dans le nombre de visiteurs en fonction de la saison. Il ya beaucoup moins en automne et en hiver que le printemps et l'été. Cependant, si nous voulions voir une tendance dans le nombre de visiteurs, nous pourrions calculer une moyenne mobile de 4 points. Pour ce faire, nous avons trouvé le nombre moyen de visiteurs au cours des quatre trimestres de 2005: Ensuite, nous trouvons le nombre moyen de visiteurs au cours des trois derniers trimestres de 2005 et du premier trimestre de 2006: Puis les deux derniers trimestres de 2005 et les deux premiers trimestres De 2006: Notez que la dernière moyenne que nous pouvons trouver est pour les deux derniers trimestres de 2006 et les deux premiers trimestres de 2007. Nous traçons les moyennes mobiles sur un graphique, en veillant à ce que chaque moyenne est tracée au centre des quatre trimestres Il couvre: Nous pouvons maintenant voir qu'il ya une très légère tendance à la baisse dans les visiteurs. Moyennes mobiles Moyennes mobiles Avec les ensembles de données classiques, la valeur moyenne est souvent la première et l'une des statistiques les plus utiles à calculer. Lorsque les données sont sous la forme d'une série chronologique, la moyenne en série est une mesure utile, mais ne reflète pas la nature dynamique des données. Les valeurs moyennes calculées sur des périodes court-circuitées, soit précédant la période courante, soit centrées sur la période courante, sont souvent plus utiles. Parce que ces valeurs moyennes vont varier, ou se déplacer, à mesure que la période courante se déplace du temps t 2, t 3, etc., on les appelle des moyennes mobiles (Mas). Une moyenne mobile simple est (typiquement) la moyenne non pondérée de k valeurs antérieures. Une moyenne mobile exponentiellement pondérée est essentiellement la même qu'une moyenne mobile simple, mais avec des contributions à la moyenne pondérée par leur proximité à l'heure actuelle. Parce qu'il n'y a pas une seule, mais toute une série de moyennes mobiles pour une série donnée, l'ensemble de Mas peut être tracé sur des graphes, analysé comme une série et utilisé dans la modélisation et la prévision. Une gamme de modèles peut être construite à l'aide de moyennes mobiles, et ce sont connus sous le nom de modèles MA. Si ces modèles sont combinés avec des modèles autorégressifs (AR), les modèles composites résultants sont connus sous le nom de modèles ARMA ou ARIMA (le I est pour intégré). Moyennes mobiles simples Comme une série temporelle peut être considérée comme un ensemble de valeurs, t 1,2,3,4, n la moyenne de ces valeurs peut être calculée. Si l'on suppose que n est assez grand, et on choisit un entier k qui est beaucoup plus petit que n. Nous pouvons calculer un ensemble de moyennes de bloc, ou moyennes mobiles simples (d'ordre k): Chaque mesure représente la moyenne des valeurs de données sur un intervalle de k observations. Notons que la première MA possible d'ordre k gt0 est celle de t k. De façon plus générale, nous pouvons supprimer l'indice supplémentaire dans les expressions ci-dessus et écrire: Ceci indique que la moyenne estimée au temps t est la moyenne simple de la valeur observée au temps t et aux précédentes étapes k -1. Si des poids sont appliqués qui diminuent la contribution des observations qui sont plus éloignées dans le temps, la moyenne mobile est dite exponentiellement lissée. Les moyennes mobiles sont souvent utilisées comme une forme de prévision, la valeur estimée pour une série au temps t 1, S t1. Est prise comme MA pour la période allant jusqu'au temps t compris. par exemple. L'estimation d'aujourd'hui est basée sur une moyenne des valeurs antérieures enregistrées jusqu'à et y compris hier (pour les données quotidiennes). Les moyennes mobiles simples peuvent être considérées comme une forme de lissage. Dans l'exemple illustré ci-dessous, l'ensemble de données sur la pollution atmosphérique présenté dans l'introduction à ce sujet a été complété par une ligne de 7 jours de moyenne mobile (MA), affichée ici en rouge. Comme on peut le voir, la ligne MA permet de lisser les pics et les creux dans les données et peut être très utile pour identifier les tendances. La formule de calcul de référence standard signifie que les premiers k -1 points de données n'ont pas de valeur MA, mais ensuite les calculs s'étendent jusqu'au point de données final de la série. Une des raisons de calculer des moyennes mobiles simples de la manière décrite est qu'il permet de calculer les valeurs pour tous les intervalles de temps entre le temps tk et le temps présent, et Comme une nouvelle mesure est obtenue pour le temps t 1, la MA pour le temps t 1 peut être ajoutée à l'ensemble déjà calculé. Cela fournit une procédure simple pour les jeux de données dynamiques. Cependant, cette approche présente certains problèmes. Il est raisonnable de soutenir que la valeur moyenne au cours des 3 dernières périodes, par exemple, devrait être située à l'instant t -1, et non pas au temps t. Et pour une MA sur un nombre pair de périodes, il devrait être situé au point médian entre deux intervalles de temps. Une solution à cette question est d'utiliser des calculs de MA centrés, dans lesquels l'A à l'instant t est la moyenne d'un ensemble symétrique de valeurs autour de t. Malgré ses avantages évidents, cette approche n'est généralement pas utilisée car elle exige que des données soient disponibles pour les événements futurs, ce qui peut ne pas être le cas. Dans les cas où l'analyse est entièrement d'une série existante, l'utilisation de Mas centrée peut être préférable. Les moyennes mobiles simples peuvent être considérées comme une forme de lissage, en supprimant certaines composantes à haute fréquence d'une série chronologique et en mettant en évidence (mais non en supprimant) les tendances d'une manière similaire à la notion générale de filtrage numérique. En effet, les moyennes mobiles sont une forme de filtre linéaire. Il est possible d'appliquer un calcul de la moyenne mobile à une série qui a déjà été lissée, c'est-à-dire lisser ou filtrer une série déjà lissée. Par exemple, avec une moyenne mobile de l'ordre 2, nous pouvons la considérer comme étant calculée en utilisant des poids, de sorte que la MA à x 2 0,5 x 1 0,5 x 2. De même, la MA à x 3 0,5 x 2 0,5 x 3. Si nous Appliquer un deuxième niveau de lissage ou de filtrage, on a 0,5 x 2 0,5 x 3 0,5 (0,5 x 1 0,5 x 2) 0,5 (0,5 x 2 0,5 x 3) 0,25 x 1 0,5 x 2 0,25 x 3 c'est-à-dire le filtrage à 2 étages Processus (ou convolution) a produit une moyenne mobile symétrique pondérée variable, avec des poids. Les convolutions multiples peuvent produire des moyennes mobiles pondérées assez complexes, dont certaines ont été trouvées particulièrement utiles dans des domaines spécialisés, comme dans les calculs d'assurance-vie. Les moyennes mobiles peuvent être utilisées pour supprimer des effets périodiques si elles sont calculées avec la longueur de la périodicité comme étant connue. Par exemple, avec des données mensuelles, les variations saisonnières peuvent souvent être supprimées (si tel est l'objectif) en appliquant une moyenne mobile symétrique de 12 mois avec tous les mois pondérés également, sauf le premier et le dernier qui sont pondérés par 1 2. Sera de 13 mois dans le modèle symétrique (temps actuel, t. - 6 mois). Le total est divisé par 12. Des procédures similaires peuvent être adoptées pour toute périodicité bien définie. Moyennes mobiles pondérées exponentiellement (EWMA) Avec la formule de la moyenne mobile simple: toutes les observations sont également pondérées. Si on appelle ces poids égaux, alpha t. Chacun des k poids serait égal à 1 k. Donc la somme des poids serait 1, et la formule serait: Nous avons déjà vu que les applications multiples de ce processus se traduisent par des poids variant. Avec des moyennes mobiles exponentiellement pondérées, la contribution à la valeur moyenne des observations qui sont plus éloignées dans le temps est délibérée réduite, ce qui met l'accent sur les événements plus récents (locaux). Essentiellement, on introduit un paramètre de lissage, 0lt alpha lt1, et on révise la formule à: Une version symétrique de cette formule serait de la forme: Si les poids dans le modèle symétrique sont sélectionnés comme les termes des termes de l'expansion binomiale, (1 21 2) 2q. Ils additionneront 1, et comme q devient grand, approchera la distribution normale. C'est une forme de pondération du noyau, avec le Binomial agissant comme la fonction du noyau. La convolution à deux étages décrite dans la sous-section précédente est précisément cet arrangement, avec q 1, donnant les poids. Dans le lissage exponentiel il est nécessaire d'utiliser un ensemble de poids qui somme à 1 et qui réduisent en taille géométriquement. Les poids utilisés sont typiquement de la forme: Pour montrer que ces poids sont égaux à 1, considérons l'expansion de 1 comme une série. Nous pouvons écrire et développer l'expression entre parenthèses en utilisant la formule binomiale (1-x) p. Où x (1-) et p -1, ce qui donne: Ceci fournit alors une forme de moyenne mobile pondérée de la forme: Cette somme peut être écrite comme une relation de récurrence: ce qui simplifie considérablement le calcul et évite le problème que le régime de pondération Doit être strictement infini pour les poids à la somme de 1 (pour les petites valeurs de alpha, ce n'est généralement pas le cas). La notation utilisée par les différents auteurs varie. Certains utilisent la lettre S pour indiquer que la formule est essentiellement une variable lissée et écrivent: alors que la littérature théorique de contrôle utilise souvent Z plutôt que S pour les valeurs exponentiellement pondérées ou lissées (voir par exemple Lucas et Saccucci, 1990, LUC1 , Et le site Web du NIST pour plus de détails et exemples travaillés). Les formules citées ci-dessus découlent du travail de Roberts (1959, ROB1), mais Hunter (1986, HUN1) utilise une expression de la forme: qui peut être plus appropriée pour être utilisée dans certaines procédures de contrôle. Avec alpha 1, l'estimation moyenne est simplement sa valeur mesurée (ou la valeur de la donnée précédente). Avec 0,5, l'estimation est la moyenne mobile simple des mesures actuelles et précédentes. Dans les modèles de prévision, la valeur, S t. Est souvent utilisée comme estimation ou valeur de prévision pour la période de temps suivante, c'est-à-dire comme l'estimation pour x à l'instant t 1. On a ainsi: Ceci montre que la valeur de prévision à l'instant t 1 est une combinaison de la moyenne mobile exponentielle précédente Plus un composant qui représente l'erreur de prédiction pondérée, epsilon. À l'instant t. En supposant qu'une série chronologique est donnée et qu'une prévision est nécessaire, une valeur pour alpha est requise. Ceci peut être estimé à partir des données existantes en évaluant la somme des erreurs de prédiction au carré obtenues avec des valeurs variables d'alpha pour chaque t 2,3. La première estimation étant la première valeur de données observée, x 1. Dans les applications de contrôle, la valeur de alpha est importante dans la mesure où elle est utilisée dans la détermination des limites de contrôle supérieure et inférieure et affecte la longueur de parcours moyenne (ARL) attendue Avant que ces limites de contrôle ne soient rompues (sous l'hypothèse que la série temporelle représente un ensemble de variables indépendantes, aléatoires, identiquement distribuées et de variance commune). Dans ces circonstances, la variance de la statistique de contrôle est (Lucas et Saccucci, 1990): les limites de contrôle sont habituellement fixées en tant que multiples fixes de cette variance asymptotique, par ex. - 3 fois l'écart-type. Si l'alpha 0,25, par exemple, et les données surveillées sont supposées avoir une distribution normale, N (0,1), en contrôle, les limites de contrôle seront - 1,134 et le processus atteindra une ou l'autre limite en 500 étapes en moyenne. Lucas et Saccucci (1990 LUC1) dérivent les ARL pour une large gamme de valeurs alpha et sous diverses hypothèses en utilisant des procédures de chaîne de Markov. Ils tabulent les résultats, y compris la fourniture d'ARL lorsque la moyenne du processus de contrôle a été décalée par un multiple de l'écart-type. Par exemple, avec un décalage de 0,5 avec l'alpha 0,25, l'ARL est inférieur à 50 pas de temps. Les approches décrites ci-dessus sont appelées lissage exponentiel simple. Comme les procédures sont appliquées une fois à la série chronologique, puis des analyses ou des processus de contrôle sont effectués sur les données lissées résultantes. Si l'ensemble de données inclut une tendance et / ou des composantes saisonnières, un lissage exponentiel à deux ou trois étapes peut être appliqué comme un moyen d'enlever (explicitement modéliser) ces effets (voir plus loin la section Prévision ci-dessous et l'exemple travaillé NIST) . CHA1 Chatfield C (1975) L'analyse des séries chronologiques: théorie et pratique. Chapman et Hall, Londres HUN1 Hunter J S (1986) La moyenne mobile exponentiellement pondérée. J of Quality Technology, 18, 203-210 LUC1 Lucas J M, Saccucci M S (1990) Systèmes de contrôle de la moyenne mobile pondérée exponentiellement: propriétés et améliorations. Technometrics, 32 (1), 1-12 ROB1 Roberts S W (1959) Tests de carte de contrôle basés sur des moyennes mobiles géométriques. Technometrics, 1, 239-250